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Sequência numérica favorita da Mãe Natureza - O Fibonacci

Sequência numérica favorita da Mãe Natureza - O Fibonacci

A espiral de sementes em uma pinha, os frutos de um abacaxi. O que eles têm em comum? Ambos estão em conformidade com a Sequência de Fibonacci.

Como qualquer pessoa que leu o suspense de Dan Brown O código Da Vinci ou visto que o filme sabe, a Sequência de Fibonacci é uma sequência de números criada pela adição de dois inteiros sequenciais, começando em 0.

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A sequência pode ser descrita pela equação:
Fn = Fn - 1 + Fn - 2, Onde n > 1 então,
F0 = 0, F1 = 1 e F2 = F1 + F0 = 1.
A sequência de números que compreende a Sequência de Fibonacci é: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Apelidado de Fibonacci

A pessoa que trouxe a Sequência de Fibonacci para o público ocidental é Leonardo de Pisa, que nasceu perto 1170 A.D. e morreu por aí 1250 A.D. Mais tarde, ele foi apelidado de Fibonacci, de Filius Bonacci, que significa 'filho de Bonacci'. A seqüência havia sido deduzida por matemáticos indianos e árabes mil anos antes.

Dentro 1202, Fibonacci descreveu a sequência em seu Liber Abaci ('Livro de Cálculo'), que se destinava a ser um guia matemático para os comerciantes, para que pudessem calcular lucros e perdas e saldos de empréstimos.

Dentro Liber Abaci, Fibonacci introduziu a sequência com um problema envolvendo coelhos. O problema começa com um coelho macho e uma fêmea. Após um mês, eles amadurecem e produzem uma ninhada de um coelho macho e uma fêmea. Um mês depois, esses coelhos se reproduzem e têm uma ninhada de um coelho macho e uma fêmea, e assim por diante. A pergunta que Leonardo fez foi: quantos coelhos você teria depois de um ano? A resposta, ao que parece, é 144 - e a fórmula usada para chegar a essa resposta é o que hoje é conhecido como sequência de Fibonacci.

Quadrados e arcos

Durante o século 19, os matemáticos começaram a examinar a Seqüência de Fibonacci novamente e perceberam que se você desenhasse os quadrados dos Números de Fibonacci e depois colocasse os lados dos quadrados juntos, o novo lado de um quadrado maior era formado. Isso pode ser repetido infinitamente.

Eles então perceberam que se você desenhasse arcos circulares conectando os cantos opostos dos quadrados, você obteria uma espiral chamada de espiral logarítmica. Essa espiral é observada em muitos fenômenos naturais, como no arranjo de folhas em um caule ou sementes em uma pinha.

Mas isso não é tudo. Os números de Fibonacci aparecem em todos os tipos de lugares na natureza. Algumas flores têm 3, 5, 8 ou 13 pétalas, onde cada pétala é colocada para permitir a máxima exposição ao sol. As fileiras de sementes em girassóis e pinhas geralmente somam os números de Fibonacci, porque essa é a maneira mais eficiente de embalar o máximo de sementes possível em um pequeno espaço.

The Golden Ratio

Se você dividir qualquer Número de Fibonacci por um antes dele na sequência, você obtém uma proporção de aproximadamente 1.618033..., que é chamado de Proporção áurea. À medida que os números de Fibonacci aumentam, a proporção fica ainda mais próxima de 1.618. Por exemplo, a proporção de 3 para 5 é 1.666, a proporção de 13 para 21 é 1.625, e a proporção de 144 para 233 é 1.618.

A Proporção Áurea é encontrada dividindo uma linha em duas partes, uma e b, de modo que a parte mais longa dividida pela parte menor também é igual a todo o comprimento dividido pela parte mais longa. Isso é:

A letra grega "phi" representa a Razão Áurea, que também é conhecida como a média áurea, seção áurea, proporção divina e seção divina. Isto é 1.6180339887..., um número irracional que também é igual à solução da equação quadrática:
x2 - x - 1 = 0, com um valor de

O Retângulo Dourado é um retângulo cujos lados são Números de Fibonacci, como na imagem abaixo. Por exemplo, uma = 8 e b = 5, de modo a uma + b = 13 e as taxas produzem: 1.6180339887498948420… O Retângulo Dourado é considerado uma das formas geométricas mais satisfatórias visualmente, e é comumente usado na arte, especialmente em pinturas e esculturas renascentistas.

Leonardo Da Vinci usou a Razão Áurea nas proporções de sua "Última Ceia", em seu "Homem Vitruviano" e na "Mona Lisa". Michelangelo, Raphael, Rembrandt, Georges Seurat e Salvador Dali também incorporaram a Razão Áurea em suas obras.

A Proporção Áurea pode até mesmo ser vista na Grande Pirâmide de Gizé, onde o comprimento de cada lado da base da pirâmide é 756 pés, e sua altura é 481 pés. A proporção da base para a altura é aproximadamente 1.5717, que está próximo da Razão Áurea.

Diz-se que o escultor grego Fídias (500 a.C. - 432 a.C.) aplicou phi ao desenho das esculturas que criou para o Partenon. Platão (428 a.C. - 347 a.C.) celebrou a Razão Áurea e Euclides (365 a.C. - 300 a.C.) a vinculou à construção de um pentagrama, uma figura de cinco lados.

No Década de 1970, O físico britânico Roger Penrose incluiu a Razão Áurea em seus blocos de Penrose, que permitia que as superfícies fossem ladrilhadas em simetria quíntupla. No Década de 1980, teorizou-se que phi apareceu em quasicristais, uma forma de matéria recém-descoberta.

A Bela e o Nautilus

Estudos têm mostrado que, quando os sujeitos de teste veem uma série de rostos, aqueles que eles consideram mais atraentes têm proporções de proporção áurea entre a largura do rosto e a largura dos olhos, nariz e sobrancelhas.

A Espiral Dourada é encontrada frequentemente em plantas, provavelmente porque, para que as plantas maximizem a exposição de suas folhas ao Sol, elas precisam cultivá-las em ângulos que não se repetem. A maneira mais fácil de garantir isso é ter um valor irracional para o número de folhas, e muitas das espirais que vemos na natureza são conseqüência desse comportamento. As distribuições seguem espirais logarítmicas, a forma matemática geral de uma espiral dourada.

Finalmente, você já notou que as capas de muitos livros didáticos de matemática do ensino médio exibem uma concha de nautilus? A concha pode ser descrita como tendo uma espiral que se expande pela Razão Áurea a cada 180 graus. Embora seja apenas uma aproximação, é frequentemente citado como um sinal do surgimento da Razão Áurea na natureza, e é por isso que está na capa dos livros de matemática.


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